MATRIKS ( Disusun Sebagai Laporan Mengenai Penerapan Matriks Dalam Kehidupan Sehari – Hari Beserta Contoh Soal )

MATRIKS

( Disusun Sebagai Laporan Mengenai Penerapan Matriks 

Dalam Kehidupan Sehari – Hari Beserta Contoh Soal )

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Dalamsuatupelajarandisekolah, kitatidakhanyabelajarmengenaipelajaraninidanpelajaranitu, akantetapi, padasaatpelajarandisekolahkitajugadituntut agar dapatmenerapkanpelajaran – pelajaran yang dipelajaridisekolahuntukdapatditerapkan di kehidupansehari – hari. Namun,  berbicara tentang Matematika tak akan pernah terlepas dari kehidupan. Karena hampir dalam setiap aktivitas sehari-hari entah disadari atau tidak, kita secaralangsungataupuntidaklangsungjugapasti menggunakan Matematika.

Dalamkehidupan sehari-hari tampak disadari ternyata hampir semua masyarakat selalu belajar matematika, tidak hanya disekolah tetapi semua lapisan masyarakat menerapkan ilmu-ilmu matematika, baik itu buruh bangunan, pedagaan dipasar bahkan anak-anak yang belum sekolah sekalipun menerapkan yang namanya matematika.Dalam keahlian bermatematika kita dituntut untuk dapat menyelesaikan masalah dengan benar, sekaligus kita diberi kebebasan untuk menjawab dengan berbagai cara asalkan jawabannya benar dan dengan cara yang benar.

Namun, jika caranya salah atau salah dalam menuliskan satu angka saja hasil akhirnya juga salah. Disini kita diminta untuk jujur dalam menyelesaikan masalah yang ada dengan cara yang benar dan teliti. Karena jika kita menjawab soal matematika dengan tidak jujur, maka hasilnya? Dapat diprediksi sendiri ya. Dalam belajar Matematika juga dapat belajar tentang nilai kejujuran.

Selain itu, banyak sekali manfaat dari aplikasi Matematika dalam kehidupan sehari-hari baik contohnyasajasepertimatriks yang diterapkan dalam bidang ilmu lainnya maupun dalam kehidupan sehari-hari. Bahkan Ada pepatah mengatakan “Siapa yang menguasai matematika dan bahasa maka ia akan menguasai dunia”. Matematika sebagai media melatih untuk berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Matrikstidakhanyasekedarmateri yang adadipelajaranmatematikasaja, akantetapi, padamaterimatrikstelahbanyakpenerapannyadikehidupansehari – hari.

Untukitu, makapenulismengkajimaterimengenaimatriksuntukdapatdisangkutkankedalamkehidupansehari – haridanmembuktikanbahwamatriksmemangbenar – benaradapenerapannyadalamkehidupansehari – hari.Penulismembahassoalbesertamaterimatriks yang disangkutkankekehidupannyataataukehidupansehari - hari

1.2    Rumusan Masalah

1.    Bagaimanamenyelesaikansoal – soalmatriks yang penerapan / data datanyaberdasarkankehidupannyata?

2.    Apasajafungsimatriksdalamkehidupansehari - hari ?

1.3  Tujuan Penulisan

1.    Mengetahuibagaimanacaramenyelesaikansoal – soalmatriks yang penerapan / data datanyaberdasarkankehidupannyata.

2.    Mengetahuiapasajafungsimatriksdalamkehidupansehari – hari.

1.4    Manfaat Penelitian

1.    Bagi Pelajar,dapat mengetahui dan memahami semua pembelajaran yang terkait denganmatriks.

2.    Bagi Guru,dapat mengetahui dan memperhatikan siswa-siswi untuk kreatif dalam menganalisis,memahami dan bekerja dalam proses pembelajaran matriks.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 PengertianMatriks

Matriks adalah kumpulan bilangan , simbol, atau ekspresi, berbentuk persegipanjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Penemu matriks adalah Arthur Cayley.

Syarat – syarat suatu matriks :
○ Unsur – unsurnya terdiri dari bilangan – bilangan
○ Mempunyai baris dan kolom
○ Elemen – elemennya berbentuk persegi panjang dalam kurung biasa , kurung siku , atau kurung bergaris dua.

2.2 TransposeSuatuMatriks( notasinya At atau A, )

Transpose suatu matriks adalah matriks baru yang diperoleh dari suatau matriks asal dengan mempertukarkan antara elemen kolom dan elemen barisannya.

Jika diketahui suatu matriks A dengan ordo m × n, maka transpose matriks tersebut adalah matriks berordo n × m. Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga= elemen baris ketiga matriks A.

Misal Matriks A =

Maka Transpos A adalah At =

Jadi jika ordo matriks A = 3×4 maka ordo matriks transpos adalah 4×3

Sifat-sifat matriks transpose :

1) ( A + B )t = At + Bt
2) ( At )t = A
3) ( AB )t = Bt At
4) ( kA )t = kAt, dengan k = konstanta

Dalam pembahasan transpose dikenal istilah matriks simetri, yaitu matriks yang sama transposenya. Matriks Simetri merupakan suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga .
Contoh : G =
Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.

2.3 KesamaanMatriks

Kesamaan antara dua matriks tidak hanya ditentukan oleh kesamaan ordo kedua matriks itu. Dua matriks dikatakan sama ( identik ) jika ordo keduamatriks itu sama dan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua matriks sama nilainya. Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B

Contoh :
A = dan B =
Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu

Definisi:
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :
a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama
b. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B sama.

2.4 OperasiAljabarPadaMatriks

Pada operasi aljabar dapat berupa penjumlahan atau pengurangan matriks dan perkalian matriks.

1. Penjumlahan Pada Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.Misal ordomatriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapatdijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh : Jika A = dan B =

Maka A + B = =

A – B = =
Adapun beberapa sifat dasar yang dimiliki operasi penjumlahan pada matriks.Untuk A, B, C, dan 0 ( matriks nol ) yang merupakan matriks – matriks berordo yang sama, berlaku sifat – sifat berikut :
1) A + B = B + A ( sifat komutatif )
2) A + (B + C ) = ( A + B ) + C ( sifat asosiatif )
3) Terdapat matriks identitas penjumlahan, yaitu matrik nol sehingga berlaku A + 0 = 0 + A = A untuk setiap matriks A.
4) Terdapat invers penjumlahan sehingga berlaku A + (- A) = – A + A = 0, yang dimaksud dengan matriks – A atau matriks lawan dari matriks A adalah matriks yang elemen – elemennya merupakan negative dari elemen – elemen dari matriks A yang seletak.

2. Pengurang pada Matriks
Pada prinsipnya, operasi pengurangan pada matrik sama dengan operasi penjumlahan pada matrik. Sehingga sifat – sifat pada operasi pengurangan pada matrik sama dengan operasi pengurangan pada metriks, yaitu :
1) A – B = A + (- B )
2) A – B = C
3) A + B = C, maka berarti B = C – A dan A = C – B

3. Perkalian pada Matriks

Operasi perkalian pada matriks terdiri dari operasi perkalian antara matriks dengan suatu scalar dan perkalian antarmatriks (matriks dengan matriks).
3.1 Perkalian antara Matriks dengan Skalar
Jika A suatu ordo m n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA adalah metriks ordo m n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut perkalian skalar.
Jadi, jika A , maka: kA

Contoh : Misal A = maka 3A = 3 =

Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.
Jika a dan b bilangan real, maka :
1) ( a + b )A = aA + bA
2) a ( A + B ) = aA + aB
3) a( bA ) = (ab)A
4) 1 × A = A
5) 0 × A = 0
6) (- 1) A = – A

3.2 Perkalian antar Matriks
Matriks A yang berordo m p dangan suatu matriks B yang berordo p n adalahmatriks Cyang berordo m n.A m p.B p n = C m n.

Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :
Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.
Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

Secara umum jika A = ordo matriks 2 3
B = ordo matriks 3 2

C = A . B
= ordo matriks 2 2

2.5 InversdanDeterminan

1. Menentukan Determinan dan Invers
1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Matriks A =
Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal
samping disebut determinan matriks A.
Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad – bc
Contoh : Jika A = maka det A =
= ( 1)(4) – (2)(-3)
= 4 +6
= 10

2). Determinan Matriks Persegi Berordo 3

Matriks A =

Cara menentukan det A sebagai berikut :
Cara 1 : det A =
=

Cara 2 : menggunakan aturan Saurrus
det A =

– – – + + +
=

3). Invers Matriks Bujur Sangkar
Jika A dan B matriks ordo n x n, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas.
Contoh : Misal A = dan B =
Maka BA = = = I

Dengan demikian, B adalah invers dari A, di tulis B = A-1.Oleh karena BA = I dan B = A-1
maka A-1A = I

Jika A = maka invers A (ditulis A-1)
dan dirumuskan

Harga (ad –bc) disebut determinan dari matriks A atau det A.

Matriks mempunyai invers jika dan hanya jika (ad – bc) 0.

Jika (ad – bc) = 0 maka matriks tidak mempunyai invers.Matriks yang
determinannya = 0, dinamakan matriks Singular.
Sifat sifat invers matriks dan penggunaanya
a. Sifat sifat invers matriks
Diketahui matrik A dan B adalah matriks persegi, A-1 invers dari A dan B-1 invers dari B, serta I matriks identitas, maka berlaku sifat sifat invers matriks sebagai berikut:
1. AA-1 = A-1A = I
2. (A-1)-1 = A
3. (AB)-1 = B-1A-1
4. (At)-1 = (A-1)t

Sifat sifat invers matriks matriks hanya berlaku pada matriks non singular
Penyelesaian Persamaan Linier Dengan Matriks

1). Penyelesaian Persamaan Linier dua variabel dengan cara determinan
Untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel yang bentuknya seperti berikut

Diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi D , Dx dan Dy dengan
D = =
Dx = =
Dy = =

2.6 Macam – MacamMatriks

a. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

b. Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja.

c. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom.

d. Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan banyak kolomnya sama.

e. Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

f. Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitisga bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

g. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen – elemennya bernilai nol, kecuali pada diagonal utasmanya tidak selalu nol.

h. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks skalar yang elemen – elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.

Contoh MATRIKS NOL

Contoh MATRIKS BARIS

Contoh MATRIKS KOLOM

Contoh MATRIKS PERSEGI

Contoh SEGITIGA ATAS

Contoh MATRIKS SEGITIGA BAWAH

Contoh MATRIKS DIAGONAL

BAB III

METODOLOGI PENULISAN

                                

3.1 Jenis Pengumpulan Data

Penulis menggunakan jenis penulisan deskriptip analisis,dengan melakukan pencarian/penggalian informasi melalui analisis media massa mengenai Matriks.

3.2 Waktu dan tempat

Waktu penulisan makalah yakni 8 – 13 September  2015 dan bertempat di SMA PLUS Negeri 2 Banyuasin III tepatnya di kelas XI.IPA 1

3.3 Metode Pembelajaran

Analisis isi media massa,dengan mencari informasi di sumber yang tertulis maupun tidak tertulis misalnya buku-buku matematika khusus dalam materi Matriks, dan juga sumber internet.

  

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

1.  Bagaimanamenyelesaikansoal – soalmatriks yang penerapan / data datanyaberdasarkankehidupannyata?

Dalammenyelesaikanberbagaisoal – soalmatriks, tentunyakitaharusterlebihdahulumengetahuiapasaja data – data yang akankitaselesaikanmasalahnya. Berikutadalahcontohsoal – soalmatriks yang penerapan / data – datanyadidasarkanpadakehidupannyata.

Contoh Soal Matriks :

Hasil penelitian tentang keadaan harga-harga pokok selama tahun 2004, 2005, 2006, dan 2007 di suatu daerah adalah sebagai berikut.

Tahun	Harga Per Kilogram dalam Rupiah
	Beras	Gula	Minyak Goreng
2004	1.900	3.750	4.500
2005	2.300	3.900	4.700
2006	2.400	3.800	5.000
2007	2.600	4.000	5.600

a. Susunlah data di atas ke dalam bentuk matriks dengan notasi A.

b. Berapa banyak baris dan kolom dari matriks A?

c. Sebutkan elemen-elemen pada baris kedua.

d. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ketiga.

Pembahasan Soal Matriks :

a. A = 

b. Banyak baris pada matriks A adalah 4 dan banyak kolom pada matriks A adalah 3.

c. Elemen-elemen pada baris kedua adalah  a₂₁ = 2.300, a₂₂ = 3.900, dan a₂₃ = 4.700.

d. Elemen-elemen pada kolom ketiga adalah a₁₃ = 4.500, a₂₃ = 4.700, a₃₃ = 5.000, dan a₄₃ = 5.600.

Contoh Lain : Perusahaan Pakaian

Suatu perusahaan pakaian, JCloth, memiliki dua pabrik yang terletak di Surabaya dan Malang. Di dua pabrik tersebut, JCloth memproduksi dua jenis pakaian, yaitu kaos dan jaket. Perusahaan tersebut memproduksi pakaian yang kualitasnya dapat dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu standard, deluxe, dan premium. Tahun kemarin, pabrik di Surabaya dapat memproduksi kaos sebanyak 3.820 kualitas standard, 2.460 kualitas deluxe, dan 1.540 kualitas premium, serta jaket sebanyak 1.960 kualitas standard, 1.240 kualitas deluxe, dan 920 kualitas premium. Sedangkan pabrik yang terletak di Malang dapat memproduksi kaos sebanyak 4.220 kualitas standard, 2.960 kualitas deluxe, dan 1.640 kualitas premium, serta jaket sebanyak 2.960 kualitas standard, 3.240 kualitas deluxe, dan 820 kualitas premium dalam periode yang sama.

1.    Tulislah “matriks produksi” dengan ordo 3 × 2 untuk masing-masing pabrik (S untuk Surabaya dan M untuk Malang), dengan kolom kaos, kolom jaket, dan tiga baris yang menunjukkan banyaknya jenis-jenis pakaian yang diproduksi.

2.    Gunakan matriks dari poin 1 untuk menentukan banyaknya pakaian yang telah diproduksi oleh pabrik di Surabaya dan Malang.

3.    Gunakan perkalian skalar untuk menentukan berapa banyak pakaian dari masing-masing jenis yang akan diproduksi di Surabaya dan Malang, jika perkiraan peningkatan produksinya adalah 4%.

4.    Berapa total banyak pakaian yang diproduksi oleh JCloth (di kedua pabrik) pada tahun depan, untuk setiap jenis pakaian?

Pembahasan

1.      Agar lebih mudah dalam membuat matriks produksi, pertama kita akan membuat tabel produksi untuk masing-masing pabrik sebagai berikut.

Sehingga, kita mendapatkan matriks-matriks produksi S dan M sebagai berikut.

2.      Dari matriks yang diperoleh dari poin 1, kita dapat menghitung banyaknya pakaian yang telah diproduksi oleh pabrik di Surabaya. Banyaknya kaos yang telah diproduksi adalah 7.820, sedangkan banyaknya jaket yang sudah diproduksi adalah 4.120. Selanjutnya, banyaknya kaos yang diproduksi oleh pabrik di Malang adalah 8.820, sedangkan banyaknya jaket yang telah diproduksi adalah 7.020.

3.      Diketahui perkiraan peningkatan produksinya adalah 4% = 0,04. Artinya, jika n adalah banyaknya produksi pakaian tahun kemarin, maka banyaknya produksi pada tahun ini adalah n + 0,04n = 1,04n. Sehingga, matriks produksi pada tahun depan dapat ditentukan dengan menggunakan perkalian skalar sebagai berikut.

Sehingga dari matriks di atas kita mendapatkan perkiraan banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth di pabrik Surabaya ataupun Malang. Pabrik di Surabaya akan memproduksi kaos kurang lebih 3.973 kualitas standard, 2.558 kualitas deluxe, dan 1.602 kualitas premium serta memproduksi jaket sebanyak 2.038 kualitas standard, 1.290 kualitas deluxe, dan 956,8 kualitas premium. Sedangkan pada, pabrik di Malang akan memproduksi kaos sebanyak 4.389 kualitas standard, 3.078 kualitas deluxe, 1.706 kualitas premium serta meproduksi jaket sebanyak 3.078 kualitas standard, 3.370 kualitas deluxe, dan  852,8 kualitas premium pada periode yang sama.

4.      Untuk menentukan banyaknya total pakaian yang diproduksi oleh JCloth, kita jumlahkan matriks S’ dengan M’ seperti berikut.

Dari penjumlahan matriks di atas, kita memperoleh informasi banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth. Dengan menjumlahkan semua elemen-elemen matriks penjumlahan tersebut, kita peroleh bahwa banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth kurang lebih 28.142.

2.  Apasajafungsimatriksdalamkehidupansehari - hari ?

       Matrikstidakhanyasekedarmateripelajarandarimatemmatika yang hanyamenghitungsaja, akantetapi, disisi lain matriksjugabanyakpenerapandanfungsinyadalamkehidupansehari – hari. Fungsimatriksdalamkehidupansehari-hariadalah:

● Matriksbanyakdimanfaatkanuntukmenyelesaikanberbagaipermasalahanmatematikamisalnyadalammenemukansolusimasalahpersamaan linear, transformasi linear yaknibentukumumdarifungsi linear contohnyarotasidalam 3 dimensi.Matriksjugasepertivariabelbiasa, sehinggamatrikspundapatdimanipulasimisalnyadikalikan, dijumlah, dikurangkan, sertadidekomposisikan.Menggunakanrepresentasimatriks, perhitungandapatdilakukandenganlebihterstruktur.

● Memudahkandalammembuatanalisismengenaisuatumasalahekonomi yang mengandungbermacam – macam variable.

● Digunakandalammemecahkanmasalahoperasipenyelidikan ,misalnyamasalahoperasipenyelidikansumber – sumberminyakbumidansebagainya.

● Dikaitkandenganpenggunaan program linear, analisis input output baikdalamekonomi, statistic, maupundalambidangpendidikan, manajemen, kimia, danbidang – bidangteknologi yang lainnya.

● Denganmenggunaan Microsoft Office Excel sebagai media pembelajaran.Khususnyauntukmenghitungberbagaioperasimatriksternyatacukupmudahuntukdilakukanoleh guru sertasangatefisienuntukwaktupengerjaansebuahmatriks, jikasecara manual untukmenghitungsebuahmatriks yang memilikiordebanyakdiperlukanwaktu yang sangat lama bahkansampaiberhari-hari.

Tetapidenganmenggunakanfungsimatriksuntukmenghitungnyadapatdilakukanhanyadenganbeberapamenitsaja.Apalagidenganmenggunakan Microsoft Office Excel sebagai media pembelajaran, cukupmudahdilaksanakandansangatefektifdigunakansebagaialatbantuuntukmembuatsoal-soallatihaninteraktif. Hanyasajadibutuhkankeahliandandayaimaginasi guru tersebutuntukmengembangkan media pembelajarandenganmenggunakan Microsoft Office Excel.

BAB V

SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Dari penulisankaryatulisini, didapatkanbeberapasimpulan, yaitu :

1.    Matriksadalahkumpulanbilangan, simbol, atauekspresi, berbentukpersegipanjang yang disusunmenurutbarisdankolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatumatriksdisebutdenganelemenatauanggotamatriks.

2.    Matrikstidakhanyasekedarmateripelajaran yang ada di matematika, akantetapimatriksjugamerupakansuatumateripelajaran yang penerapannyadapatmenyelesaikanpermasalahan – permasalahan yang adadikehidupannyata.

5.2 Saran

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan makalah ini, untuk itu kepada guru pembimbing yaitu IbuEkaPurwanti, S.Pd saran dan kritik sangatlah diperlukan oleh penulis agar makalah ini dapat menjadi lebih baik lagi kedepannya.Dan semogakaryatulisinidapatbermanfaatbagiseluruhpembaca yang inginmengkajipengetahuannyamengenaimatriks.

DAFTAR PUSTAKA

1.      Anonim.2015. SoalMatriksDalamKehidupanNyatadalamhttps://yos3prens.wordpress.com/2014/12/07/5-soal-dan-pembahasan-penerapan-penjumlahan-dan-perkalian-matriks/(diaksestanggal 13 September 2015).

2.      Irwanto, Yudhie.2015. ContohSoalMatriksdalamhttp://yudhie-irwantow.mywapblog.com/contoh-soal-matriks-pengertian-jenis-jen.xhtml. (diaksestanggal 13 September 2015).

Note :

Kalau mau Copas, cantumkan sumbernya ...!

Share :